\documentclass[leqno]{article}
\pagestyle{empty}
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\begin{document}
\begin{center}
{\it Propositions et questions diverses} ; par M. E. C{\sc atalan}.\\
 \ \\
{\small (S\'eance du 18 avril 1888.)}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
{\em Sur les fonctions} $X_n$. --- Dans mon premier M\'emoire sur
cette th\'eorie, j'ai d\'emontr\'e la formule
\begin{equation}
X_n=\hbox{partie r\'eelle de\ } \frac{2^{n+1}}{\pi}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n \varphi (x\cos \varphi + \sqrt{-1}
\sin \varphi)^n d\varphi.
\end{equation}
Tout r\'ecemment, je me suis aper\c cu qu'on peut la
remplacer par celle-ci~:
\begin{equation}
X_n=\frac{2^n}{\pi} \int_0^\pi \sin^n\varphi
(x\sin\varphi + \sqrt{-1}\cos \varphi)^n d\varphi,
\end{equation}
laquelle n'est soumise \`a aucune restriction.

Cette formule (2), beaucoup plus simple que la c\'el\`ebre formule
de Jacobi
\begin{equation}
X_n=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi (x-\sqrt{x^2-1}\sin\omega)^nd\omega,
\end{equation}
est-elle {\em nouvelle?} Je m'adresse pour le savoir \`a mes confr\`eres
de la {\em Soci\'et\'e math\'ematique.}

\item De la formule (2), on d\'eduit, presque sans calcul, divers
r\'esultats, plus ou moins importants, que l'on trouvera dans mon
{\em sixi\`eme} (et dernier) {\em M\'emoire sur les fonctions $X_n$},
imprim\'e parmi ceux de l'Acad\'emie de Belgique.

\item {\em Quelques th\'eor\`emes empiriques.} --- Le journal
{\em Mathesis} a publi\'e, en d\'ecembre dernier, une Question propos\'ee
par M. {\em Oltramare}.  Cette question m'a fait songer
au {\em th\'eor\`eme empirique} suivant~:

{\em n \'etant un nombre entier, soit $n_1$ la somme des diviseurs de
$n$, inf\'erieurs \`a $n$, soit $n_2$ la somme des diviseurs de $n_1$,
inf\'erieurs \`a $n_1$; etc.  Cela pos\'e~: les nombres $n$, $n_1$,
$n_2$, {\dots} tendent vers une limite $\lambda$, laquelle est 1 ou
un nombre parfait.}

Si cette proposition (v\'erifi\'ee sur divers exemples) est vraie,
elle doit \^etre fort difficile \`a d\'emontrer.

Dans la {\em Nouvelle Correspondance math\'ematique}, j'ai \'enonc\'e
divers th\'eor\`emes empiriques; celui-ci, par exemple~:

\def\thefootnote{}
{\em n \'etant un nombre entier, la quantit\'e $$6n^2+6n-3$$
est la somme de trois carr\'es, entiers et positifs} (${}^1$)\footnote{
$(^{1})$ Dans le M\'emoire intitul\'e~: {\em Recherche sur quelques produits
ind\'efinis}, j'ai donn\'e, au moyen des s\'eries elliptiques, ce
th\'eor\`eme remarquable~:

{\em Tout multiple de 8 est la somme de huit carr\'es impairs.}

Il serait int\'eressant, me semble-t-il, d'en trouver une d\'emonstration
\'el\'ementaire.}.
\end{enumerate}
\end{document}
