Propositions et questions diverses ; par M. E. Catalan.

(Séance du 18 avril 1888.)

1. Sur les fonctions X_{n}. — Dans mon premier Mémoire sur cette théorie, j’ai démontré la formule

(1) X_{n} = partie réelle de \frac{2^{n+1}}{π} ∫0^{\frac{π}{2}} cos^{n} φ(x cos φ + \sqrt{−1} sin φ)^{n}dφ.

Tout récemment, je me suis aperçu qu’on peut la remplacer par celle-ci :

(2) X_{n} = \frac{2^{n}}{π} ∫_{0}^{π} sin^{n} φ(x sin φ + \sqrt{−1} cos φ)^{n}dφ,

laquelle n’est soumise à aucune restriction. Cette formule (2), beaucoup plus simple que la célèbre formule de Jacobi

X_{n} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π}(x − \sqrt{x^{2} − 1} sin ω)^{n}dω, (3)

est-elle nouvelle? Je m’adresse pour le savoir à mes confrères de la Société mathématique.

2. De la formule (2), on déduit, presque sans calcul, divers résultats, plus ou moins importants, que l’on trouvera dans mon sixième (et dernier) Mémoire sur les fonctions X_{n}, imprimé parmi ceux de l’Académie de Belgique.

3. Quelques théorèmes empiriques. — Le journal Mathesis a publié, en décembre dernier, une Question proposée par M. Oltramare. Cette question m’a fait songer au théorème empirique suivant : n étant un nombre entier, soit n_{1} la somme des diviseurs de n, inférieurs à n, soit n_{2} la somme des diviseurs de n_{1}, inférieurs à n_{1}; etc. Cela posé : les nombres n, n_{1}, n_{2}, … tendent vers une limite λ, laquelle est 1 ou un nombre parfait. Si cette proposition (vérifiée sur divers exemples) est vraie, elle doit être fort difficile à démontrer. Dans la Nouvelle Correspondance mathématique, j’ai énoncé divers théorèmes empiriques; celui-ci, par exemple : n étant un nombre entier, la quantité

6n^{2} + 6n − 3

est la somme de trois carrés, entiers et positifs (^{1}).

(^{1}) Dans le Mémoire intitulé : Recherche sur quelques produits indéfinis, j’ai donné, au moyen des séries elliptiques, ce théorème remarquable :

Tout multiple de 8 est la somme de huit carrés impairs.

Il serait intéressant, me semble-t-il, d’en trouver une démonstration élémentaire.